Procesos de poisson

 Proceso Poisson compuesto

 Asociamos ahora una variable aleatoria Yi a cada evento de un proceso de Poisson. Suponemos que las variables Yi, i ≥ 1, son i.i.d y también son independientes del proceso. Por ejemplo, el proceso puede representar los carros que llegan a un centro comercial y las variables asociadas, el número de pasajeros que hay en cada uno de ellos; o el proceso puede representar los mensajes que llegan a un computador central para ser transmitidos via internet y las variables Yi pueden representar el tamaño de los mensajes. Es natural considerar la suma de las variables Yi como una variable de interés: 

S(t) = Y1 + · · · + YN(t)

Donde ponemos S(t) = 0 si N(t) = 0. Ya hemos visto que para suma aleatorias, la media es el producto de las medias de N e Y , mientras que la varianza está dada por

Var(S(t)) = E[N(t)] Var(Yi) + Var(N(t))(E[Yi ])2 .

En nuestro caso, N(t) ∼ Pois (λt) y por lo tanto, E[N(t)] = Var(N(t)) = λt, de modo que la fórmula anterior es

Var(S(t)) = λt(Var(Yi) + (E[Yi ])2 ) = λtE[Y 2 i ].

Ejemplo: El número de clientes de una tienda durante el día tiene distribución de Poisson de media 30 y cada cliente gasta un promedio de $150 con desviación típica de $50. Por los cálculos anteriores sabemos que el ingreso medio por día es 30 · $150 = $4.500. La varianza del ingreso total es

30 · [($50)2 + ($150)2 ] = 750.000

Sacando la raíz cuadrada obtenemos una desviación típica de $ 866,02.

 La función de distribución para el proceso de Poisson compuesto S(t) puede representarse explícitamente si condicionamos por los valores de N(t). Recordemos que la distribución de una suma de variables independientes es la evolución de las distribuciones: Si Y tiene f.d. G,

Ejercicio: Sea N(t) el número de impactos que recibe un sistema mecánico hasta el instante t y sea Yk el daño o desgaste que produce el k-´eximo impacto. Suponemos que los daños son positivos: P(Yk ≥ 0) = 1, y que se acumulan aditivamente, de modo que S(t) = PN(t) k=1 Yk representa el daño total hasta el instante t. Supongamos que el sistema continua funcionando mientras el daño total sea menor que un valor critico a y en caso contrario falla. Sea T el tiempo transcurrido hasta que el sistema falla, entonces

{T > t} si y solo si {S(t) < a}.

Tengamos en cuenta lo que propusimos en el anterior ejercicio

Para obtener el tiempo promedio hasta que el sistema falle podemos integrar esta probabilidad:

Donde hemos intercambiado series e integrales porque todos los términos son positivos. Esta expresión se simplifica en el caso particular en el cual los daños tienen distribución exponencial de parámetro µ. Entonces la suma Y1 + · · · + Yn tiene distribución Γ(n, µ):

Por lo tanto, cuando Yi , i ≥ 1, tienen distribución exponencial de parámetro µ,

Proceso Poisson mixto

En esta generalización del proceso de Poisson se considera que el parámetro λ no es constante sino una variable aleatoria

Sea Λ una variable aleatoria positiva con función de distribución F pλq. Se dice que el proceso de conteo tXt : t ¥ 0u es un proceso de Poisson mixto con variable mezclarte Λ si para cada entero n ¥ 1, y cada sucesión de enteros no negativos k1, . . . , kn, y cualesquiera tiempos 0 ¤ a1 ¤ an ¤ bn se cumple la igualdad

 

Cuando la variable aleatoria mezclarte Λ es constante e igual a λ, el proceso de Poisson mixto se reduce al proceso de Poisson.

Proposición  El proceso de Poisson mixto cumple las siguientes propiedades.

1. Tiene incrementos estacionarios.

2. En general los incrementos no son independientes. Lo son en el caso del proceso de Poisson. 3. EpXtq  t EpΛq.

4. VarpXtq  t 2 VarpΛq t EpΛq.

5. CovpXt , Xts  Xtq  st VarpΛq, s, t ¥

Estas propiedades se obtienen condicionando sobre el valor de la variable aleatoria Λ y sus demostraciones se dejan como ejercicio al lector. Notas y referencias. El estudio del proceso de Poisson generalmente se incluye en los cursos elementales de procesos estocásticos.

Proceso de nacimiento y muerte 

La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegadas de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo con un nacimiento y muerte.

En el contexto de la teoría de colas, el termino nacimiento se refiere a la llegada de un cliente al sistema de colas, mientras que el termino muerte se refiere a la salida del cliente servido. El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticos como cambia N(t) al aumentar t. En general, sostiene que los nacimientos y muertes individuales ocurren de manera aleatoria, y que sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado del sistema actual. Los supuestos del proceso de nacimiento y muerte son los siguientes:

Supuesto 1. Dado N(t) = t, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro λn n(n = 0, 1, 2, ...).

Supuesto 2. Dado N(t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro µn(n = 1, 2, ...).

 Supuesto 3. La variable aleatoria del supuesto 1 (el tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria del supuesto 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes. La siguiente transición del estado del proceso es:

Un solo nacimiento n → n + 1

O una sola muerte n → n − 1

Lo que depende de cuál de las dos variables es más pequeña.

En el caso de un sistema de colas, λn y µn representan, respectivamente, la tasa media de llegada y la tasa media de terminaciones de servicio, cuando hay n clientes en el sistema. En algunos sistemas de colas, los valores de las λn serán las mismas para todos los valores de n, y las µn también serán las mismas para toda n excepto para aquella n tan pequeña que el servidor esté desocupado.

Excepto en algunos casos especiales, el análisis del proceso de nacimiento y muerte es complicado cuando el sistema se encuentra en condición transitoria. Se han obtenido algunos resultados sobre esta distribución de probabilidad de N(t) pero son demasiado complicados para darles un buen uso práctico. Por otro lado, es bastante directo derivar esta distribución después de que el sistema ha alcanzado la condición de estado estable (en caso de que pueda alcanzarla). Este desarrollo parte del diagrama de tasas, como se escribe a continuación.

Considere cualquier estado particular n (n = 0,1,2,...) del sistema. Suponga que en el tiempo 0 se inicia el conteo del número de veces que el sistema entra a este estado y el número de veces que sale de ´el, como se denota a continuación:

En (t) = número de veces que el proceso entra al estado n hasta el tiempo t.

Ln (t) = número de veces que el proceso sale del estado n hasta el tiempo t.

Como los dos tipos de eventos (entrar y salir) deben alternarse, estos dos números serán

Iguales o diferirán en solo 1; es decir, |En(t) − Ln(t)| ≤ 1.

- Proceso de Conteo.

- Proceso de incrementos independientes y estacionarios

- Verificando

Ejemplos de Procesos de Nacimiento y muerte

 

Proceso de nacimiento puro

Consideremos una sucesión de números positivos {l_k}. Se define un proceso de nacimiento puro como un proceso de Markov que satisface los siguientes postulados:

X( t ) denota el valor de estado que puede tomar el proceso en el tiempo t. En lo que respecta a la teoría de confiabilidad el valor de estado denotará el estado de degradación en que incurre el sistema, entendiendo el 0 como el estado óptimo, y los sucesivos estados como etapas de degradación creciente, hasta llegar a un estado N que significará el estado de colapso, no obstante con el objeto de aplicar directamente la teoría de los procesos de nacimiento puro, consideraremos el espacio de estado infinito {0, 1, 2, ...}.

El término o1,k(h) y o2,k(h) son "infinitesimales" de orden h, esto es

Teorema. El proceso de nacimiento puro satisface el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

La demostración se deja como ejercicio: Se utiliza la ley de la probabilidad completa, la propiedad de Markov y el postulado (iii).

La primera ecuación diferencial se puede resolver directamente, y esta es

Las restantes se calculan recurrentemente, y la expresión general está dada por

Ejemplo:

Suponga que los nacimientos en un país están separados en el tiempo, de acuerdo con una distribución exponencial, presentándose un nacimiento cada 7 minutos en promedio.

Como el tiempo promedio entre arribos (entre nacimientos) es de  7 minutos, la tasa de nacimiento en el país se calcula como:

El número de nacimientos en el país por año está dado por

λt  = 205.7 x 365 = 75080 nacimientos/año

La probabilidad de ningún nacimiento en cualquier día es

Proceso de muerte puro

En el modelo de muerte pura, el sistema se inicia con N clientes en el instante 0, sin llegadas nuevas permitidas. Las salidas ocurren a razón de m clientes por unidad de tiempo.

 Los clientes se retiran de un abasto inicial, ocurren de manera aleatoria.

Ejemplo: Una florería inicia cada semana con 18 docenas de rosas. En promedio, la florería vende 3 docenas al día (una docena a la vez), pero la demanda real sigue una distribución de Poisson. Siempre que el nivel de las existencias se reduce a 5 docenas, se coloca un nuevo pedido de 18 nuevas docenas para entrega al principio de la siguiente semana. Debido a la naturaleza de la mercancía, las rosas sobrantes al final de la semana se desechan. Determine lo siguiente: (a) La probabilidad de colocar un pedido cualquier día de la semana.