PROCESOS DE POISSON

1  Proceso Yule

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Es un proceso de Nacimiento lineal con λ=(n* λ) y n˃0

Este proceso puede definirse en los siguientes puntos:

Esto nos dice que las tasas de nacimiento son λ_n = λ*n. El tiempo de estancia en el estado n tiene una distribución 

en consecuencia el tiempo medio de estancia en ese estado es 

cada vez menor conforme n crece. El sistema de ecuaciones prospectivas para 

 se reduce a

 

1.    2 Breve biografía de Joseph Doob

Joseph Leo Doob (27 de febrero de 1910 en Cincinnati, Ohio, Estados Unidos - 7 de junio de 2004 en Clark-Lindsey Village, Urbana, Illinois, Estados Unidos) es un matemático estadounidense que trabajó en análisis y teoría de la probabilidad. Es uno de los fundadores de la teoría de las martingalas

3    Martingalas

Dado un subconjunto medible A de Ω, definimos su indicador IA : Ω → {0, 1} como la función que toma el valor 1 en ´ A y 0 en A c .

 Definimos la integral de X sobre A como E(X; A) = E(XIA), y la esperanza condicionada de X dado A como E(X|A) = E(X; A)/P(A).

 La esperanza condicionada es la esperanza con respecto a la distribución de probabilidad condicionada, dada por ´ P(·|A) = P(· ∩ A)/P(A).

Sea {Xn}n≥0 una sucesión de variables aleatorias. Constituyen ´ una martingala cuando

1. E(|Xn|) < ∞ para todo n.

2. E(Xn+1|Xn = xn, Xn−1 = xn−1, . . . , X0 = x0) = xn para todo

x0, . . . , xn.

La segunda condición es equivalente a ´ E(Xn+1 − Xn|Xn = xn, Xn−1 = xn−1, . . . , X0 = x0) = 0 para todo x0, . . . , xn.

Ejemplo: caminos aleatorios de media 0

Sea (ξn)n≥1 una sucesión de variables aleatorias ´

Independientes tal que E(ξi) = 0 para todo i. Definimos

Xn := X0 + ξ1 + · · · + ξn.

Entonces, {Xn}n constituye una martingala.

Por otro lado, si E(ξi) ≤ 0 para todo i, {Xn}n≥0 constituye una

Supe martingala, y si E(ξi) ≥ 0 para todo i, {Xn}n≥0 es una

Su martingala.

4 Proceso de renovación y confiabilidad

Modelos de confiabilidad: Los tiempos de vida de las unidades que fallan, tienen un patrón aleatorio. Para modelar los tiempos de vida o tiempos a la falla utilizamos variables aleatorias no negativas. Toda la información de una variable aleatoria se encuentra en su distribución. La materia prima en los estudios de confiabilidad son los tiempos de vida de las unidades estudiadas.

Funciones de confiabilidad:

Función de riesgo: